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Italian Wikipedia has this explanation:
Come già accennato nell'incipit, la Scala Fenicia è un residuo della presenza dei Greci sull'isola, che la costruirono intorno al VII e VI secolo a.C. L'appellativo «Fenicia», invece, è dovuto alle manie toponomastiche degli ambienti eruditi partenopei del Seicento che, nel fervore della cosiddetta feniciomania, hanno dato vita ad una serie di ricostruzioni storiche arbitrarie tese a dimostrare forzatamente la presenza di Fenici a Capri; ciò ha portato all'individuazione di presunte evidenze semitiche nell'isola, di natura etimologica, toponimica e archeologica (e, quindi, all'attribuzione della costruzione della Scala proprio ai Fenici).
DeepL translation:
As mentioned in the incipit, the Phoenician Staircase is a remnant of the presence of the Greeks on the island, who built it around the 7th and 6th centuries BC. The appellation "Phoenicia," on the other hand, is due to the toponymic manias of Neapolitan scholarly circles of the seventeenth century, which, in the fervor of the so-called Phoenicianomania, gave rise to a series of arbitrary historical reconstructions aimed at forcibly proving the presence of Phoenicians on Capri; this led to the identification of alleged Semitic evidence on the island, of an etymological, toponymic and archaeological nature (and, therefore, to the attribution of the construction of the Staircase precisely to the Phoenicians).
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