Did Martin Luther ever say "The prosperity of a country depends ... "?

Yes, he did write that. Easily verifiable when going ad fontes, as real historians should always do.

That is: the language presented in the quote is thoroughly modernised, and thus mangled into simplicity and adapted to the less well-educated. Indeed, so much so, that the ductus used is so modernised that it resembles more Dr King's language than the original Luther's. That is of course perfect for the internet, where people are content with little and dumb down so easily as to accept the most ludicrous arguments and reasons as the truth. Which is of course quite the irony, once you know the source for this and its intent.

Further, the essence is perfectly captured and the translation follows Luther's own philosophy when translating the bible: not a perfectly philological translation, but a communicative one — using words the audience understands, like also employed in the paraphrasic Living Translation

The original reads in Luther's own sixteenth-century German:

Darumb wills hie dem Rad und der oberkeyt gepüren / die aller groessesten sorge und fleys auffs iunge volck zu haben. Denn weyl der gantzen stad / gutt / ehr / leyb und leben / yhn zu trewer hand befohlen ist / so thetten sie nicht redlich fuer Gott und der welt / wo sie der stad gedeyen und besserung nicht suchten mit allem vermuegen / tag und nacht.

Nu ligt eyner stad gedeyen nicht alleyne darynn / das man grosse schetze samle / feste mauren / schoene heusser / viel buechsen und harnisch zeuge /
Ja wo des viel ist / und tolle narren drueber komen / ist so viel deste erger / und deste groesser schade der selben stad.

Sondern das ist einer stad bestes und aller reichest gedeyen / heyl und krafft / das sie viel feyner gelerter / vernuenfftiger / erbar / wolgezogener burger hatt / die kuenden darnach wol schetze / und alles gut samlen / hallten und recht brauchen.

Slightly modernised German:

Darum will's hie dem Rat und der Oberkeit gebühren, die allergrößesten Sorge und Fleiß aufs junge Volk zu haben. Denn weil der ganzen Stadt Gut, Ehr, Leib und Leben ihn' zu treuer Hand befohlen ist, so täten sie nicht redlich vor Gott und der Welt, wo sie der Stadt Gedeihen und Besserung nicht suchten mit allem Vermögen Tag und Nacht.

Nun liegt einer Stadt Gedeihen nicht alleine darin, daß man große Schätze sammle, feste Mauern, schöne Häuser, viel Büchsen und Harnisch zeuge. Ja, wo des viel ist und tolle Narren drüber kommen, ist soviel deste ärger und deste größer Schaden derselben Stadt. Sondern das ist einer Stadt bestes und allerreichest Gedeihen, Heil und Kraft, daß sie viel feiner, gelehrter, vernünftiger, ehrbar, wohlgezogener Burger hat. Die könnten darnach wohl Schätze und alles Gut sammeln, halten und recht brauchen.

Which might be translated with this time more formal linguistic equivalence as:

Therefore, it is the duty of the council and the authorities to have the greatest care and diligence for the young people. For since the whole city's goods, honour, life and limb are entrusted to their faithful care, they would not be doing honestly for God and the world if they did not seek the city's prosperity and improvement with all their might day and night.

Yet the prosperity of a city does not lie solely in the collection of great treasures, solid walls, beautiful houses, and much muskets and armour. Indeed, where there is much of this, and mad fools come upon it, so much the worse and the greater is the damage to the same city. Rather it is the best and most abundant prosperity, salvation and strength of a city that it has many fine, learned, sensible, honourable, well-raised citizens. They would then be able to collect, hold and properly use treasures and all goods.

This is from the so called Ratsherrenbrief of 1524, in German: "An die Radherrn aller stedte deutsches lands: das sie Christliche schulen auffrichten vnd hallten sollen" in which Luther wrote to all councils in Germany urging them to found and fund Christian schools for all its young inhabitants.

This can be found in the 'Works of Luther', a critical edition collection numbering 120 volumes, not just a very poor collection of net quotes…

The full source should be cited in correct modern format as:

— Martin Luther: "An die Radherrn aller stedte deutsches lands: das sie Christliche schulen auffrichten vnd hallten sollen", Cranach und Döring: Wittemberg, 1524.

Source for scan: Bayerische Staatsbibliothek BSB (page 16 of the PDF file). Source for modernized German version: glaubensstimme.de or checkluther.com (slightly edited, original source unknown). An alternative modernized German version can be found in the Calwer Luther-Ausgabe, Band 4, page 160. An alternative modern English translation can be found at checkluther.com.