In the Nuremberg Laws, What did "Approved for Citizenship" is half Jewish mean in practice?

It is clear that "approved" is different than "belongs to German race."

Under "approved" (which is the phrase used in the Wikipedia article) should be understood as

• when certain conditions are fulfilled

These conditions are defined in §2(2) of the The First Ordinance on the Reich Citizenship Law of November 14, 1935 quoted below.

If up to 2 grandparents are Jewish and none of the conditions of §5(2) are fulfilled, the person could remain a citizen of the Reich (Reichsbürger).

Since Hans Bethe was living in the US when this Ordinance was issued in November 1935, it probably didn't effect him.

Die Erste Verordnung zum Reichsbürgergesetz vom 14. November 1935
Auf Grund des § 3 des Reichsbürgergesetzes vom 15. September 1935 (Reichsgesetzbl. I S. 1146) wird folgendes verordnet:

The First Ordinance on the Reich Citizenship Law of November 14, 1935
On the basis of Section 3 of the Reich Citizenship Act of September 15, 1935 (Reichsgesetzblatt I p. 1146), the following is decreed:

§ 1
(1) Bis zum Erlaß weiterer Vorschriften über den Reichsbürgerbrief gelten vorläufig als Reichsbürger die Staatsangehörigen deutschen oder artverwandten Blutes, die beim Inkrafttreten des Reichsbürgergesetzes das Reichstagswahlrecht besessen haben, oder denen der Reichsminister des Innern im Einvernehmen mit dem Stellvertreter des Führers das vorläufige Reichsbürgerrecht verleiht.
(2) Der Reichsminister des Innern kann im Einvernehmen mit dem Stellvertreter des Führers das vorläufige Reichsbürgerrecht entziehen.

(1) Until further regulations on the Reich Citizenship Certificate are issued, those nationals of German or related blood who possessed the right to vote in the Reichstag when the Reich Citizenship Law came into force, or who were granted provisional Reich citizenship by the Reich Minister of the Interior in agreement with the Deputy of the Führer, are provisionally considered Reich Citizens.
(2) The Reich Minister of the Interior can withdraw provisional Reich citizenship in agreement with the Deputy Fuehrer.

§ 2
(1) Die Vorschriften des § 1 gelten auch für die staatsangehörigen jüdischen Mischlinge.
(2) Jüdischer Mischling ist, wer von einem oder zwei der Rasse nach volljüdischen Großelternteilen abstammt, sofern er nicht nach § 5 Abs. 2 als Jude gilt. Als volljüdisch gilt ein Großelternteil ohne weiteres, wenn er der jüdischen Religionsgemeinschaft angehört hat.

(1) The provisions of § 1 also apply to nationals who are Jewish half-breeds.
(2) A Jewish half-breed is someone who descends from one or two grandparents who are fully Jewish in terms of race, unless they are considered a Jew according to § 5 Para. 2. A grandparent is automatically considered fully Jewish if he or she belonged to the Jewish religious community.

...
§ 5
(1) Jude ist, wer von mindestens drei der Rasse nach volljüdischen Großeltern abstammt. § 2 Abs. 2 Satz 2 findet Anwendung.
(2) Als Jude gilt auch der von zwei volljüdischen Großeltern abstammende staatsangehörige jüdische Mischling,
a) der beim Erlaß des Gesetzes der jüdischen Religionsgemeinschaft angehört hat oder danach in sie aufgenommen wird,
b) der beim Erlaß des Gesetzes mit einem Juden verheiratet war oder sich danach mit einem solchen verheiratet,
c) der aus einer Ehe mit einem Juden im Sinne des Absatzes 1 stammt, die nach dem Inkrafttreten des Gesetzes zum Schutze des deutschen Blutes und der deutschen Ehre vom 15. September 1935 (Reichsgesetzbl. I S. 1146) geschlossen ist,
d) der aus dem außerehelichen Verkehr mit einem Juden im Sinne des Absatzes 1 stammt und nach dem 31. Juli 1936 außerehelich geboren wird.

(1) A Jew is someone who descends from at least three grandparents who are fully Jewish by race. § 2 paragraph 2 sentence 2 applies.
(2) A Jewish half-breed who is a citizen of the state and is descended from two fully Jewish grandparents is also considered a Jew,
a) who belonged to the Jewish religious community at the time the law was issued or is subsequently admitted to it,
b) who was married to a Jew at the time the law was passed or who subsequently married a Jew,
c) who comes from a marriage with a Jew within the meaning of paragraph 1, which was concluded after the entry into force of the law for the protection of German blood and German honor of September 15, 1935 (Reichsgesetzblatt I p. 1146),
d) who came from extramarital relations with a Jew within the meaning of paragraph 1 and was born after July 31, 1936, out of wedlock.

Sources:

• Erste Verordnung zum Reichsbürgergesetz – Wikisource